Wärme- und Stoffübertragungsanalyse für den magnetisierten Fluss von $${\mathrm{ZnO}

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 8717 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Details zu den Metriken

Die aktuelle Studie untersucht die Wärme- und Stoffübertragungseigenschaften des magnetisierten Flusses von ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$-Nanoschmierstoff über einer Riga-Platte in einem Darcy-Forchheimer-Medium. In dieser Studie werden die Auswirkungen variabler Viskosität, Wärmestrahlung, variabler Wärmeleitfähigkeit, viskoser Dissipation und gleichmäßiger Wärmequelle/-senke untersucht. Das von Cattaneo-Christov vorgestellte Diffusionsmodell wird in diese Studie einbezogen, um das Phänomen des Wärme- und Stofftransports einzuschließen. Darüber hinaus wird die Stoffübertragungsrate unter Berücksichtigung der Auswirkungen variabler Lösungsdiffusivität und chemischer Reaktionen höherer Ordnung untersucht. Wärme- und Stoffübertragungsphänomene finden bedeutende Anwendungen in den Disziplinen Wissenschaft und Technik, die überall in der Natur zu beobachten sind. Dieses gleichzeitige Transportphänomen weist auf eine Vielzahl von Anwendungen in Herstellungsprozessen, Aerodynamik, Kühlsystemen, Umweltwissenschaften, Ozeanographie, Lebensmittelindustrie, biologischen Disziplinen und Energietransportsystemen usw. hin. Das modellierte System von PDEs wird durch die Einführung geeigneter Systeme in nichtlineare ODEs umgewandelt Transformationen. Eine hervorragende bvp4c-Methode in MATLAB wurde integriert, um das resultierende System von ODEs numerisch auszuführen. Die Ergebnisse von Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsprofilen, die verschiedenen neuen Parametern entsprechen, wurden grafisch dargestellt. Die Bewegung des Nanoschmiermittels ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ nimmt mit größerer modifizierter Hartmann-Zahl tendenziell deutlich zu, wohingegen ein umgekehrtes Verhalten durch zunehmende Porositätsparameter und variable Viskositätsparameter berichtet wird. Die größere Wärmeübertragungsrate wird für variable Wärmeleitfähigkeitsparameter beobachtet. Die Geschwindigkeiten der Wärme- und Stoffübertragung verlangsamen sich für die thermischen bzw. gelösten Zeitrelaxationsparameter. Das Konzentrationsprofil wird durch die Vergrößerung der Reihenfolge der chemischen Reaktion und des variablen Massendiffusivitätsparameters angereichert. Es wird geschlussfolgert, dass durch die Erhöhung des Feststoffvolumenanteils auf bis zu $1,5\%$ die Viskosität des Nanoschmiermittels auf bis zu $12\%$ ansteigt, was folglich die Bewegung des Nanoschmiermittels verlangsamt, aber die Temperatur- und Konzentrationsprofile erhöht.

In den letzten Jahren ist die Steuerung des Flusses elektrisch leitender Flüssigkeiten eines der Hauptanliegen von Wissenschaftlern und Ingenieuren. Bei industriellen und technologischen Vorgängen, beispielsweise bei der Stoff- und Wärmeübertragung, können diese Flüssigkeiten auf unterschiedliche Weise unter kontrollierten Bedingungen strömen. Mit Hilfe elektromagnetischer Körperkräfte im Polymerbereich haben Forscher jedoch nur wenige traditionelle Methoden zur Steuerung des Flüssigkeitsflusses eingeführt, darunter Blas-/Saugmethoden und Wandbewegungsmethoden. Das Anlegen eines externen Magnetfelds kann den Fluss von Flüssigkeiten mit höherer elektrischer Leitfähigkeit, wie z. B. flüssige Metalle, Elektrolyte und Plasma usw., drastisch verändern. Das Magnetfeld spielt aufgrund seiner vielfältigen Verwendungsmöglichkeiten bei der Stärkung der thermophysikalischen Eigenschaften einer Flüssigkeit eine wichtige Rolle in der Strömungsmechanik . Prasannakumara und Gowda1 untersuchten die Wärme- und Stoffübertragungseigenschaften des Strahlungsflusses unter den Auswirkungen der thermophoretischen Partikelablagerung und eines gleichmäßigen Magnetfelds. Umavathi et al.2 diskutierten den Quetschfluss von magnetisiertem Casson-Nanofluid zwischen parallelen Scheiben. In Disziplinen wie Geowissenschaften und Astrologie trifft man auf mehrere schlecht elektrisch leitende Flüssigkeiten. Um die Wärmeflussrate durch verbesserte Leitfähigkeit und andere thermophysikalische Eigenschaften zu steigern, wird häufig ein äußerer Wirkstoff benötigt. Dieses äußere Mittel kann eine magnetische Komponente oder eine dauerhaft befestigte Reihe von Magneten mit diskontinuierlichen Elektroden sein. Die Rigaer Platte wurde offiziell von Gailitis3 eingeführt, der als erster diese Art der Formulierung verwendete. Da sie sich in industriellen Prozessen, die das Verhalten von Flüssigkeitsströmen beeinflussen, weit verbreitet durchgesetzt hat, ist die Riga-Platte in ihrer aktuellen Konfiguration besonders vorteilhaft. Shafiq et al.4 verwendeten das Walters-B-Modell, um den Flüssigkeitsfluss über einer Riga-Platte zu untersuchen. Um das Verhalten von Nanopartikeln und die gemischte Konvektion in einem Flüssigkeitsstrom zu untersuchen, verwendeten Adeel et al.5 eine vertikal positionierte Riga-Platte. Rasool et al.6 untersuchten, wie sich Wärmestrahlung auf den Nanoflüssigkeitsfluss über eine Riga-Platte auswirkt.

Die unterschiedlichen physikalischen und chemischen Eigenschaften suspendierter Nanopartikel wecken die Neugier von Ingenieuren und Wissenschaftlern. Es wird erwartet, dass die thermische Leistung dieser nanometergroßen Partikel größer ist als die gewöhnlicher Flüssigkeiten. Nanoflüssigkeiten sind im Wesentlichen Grundflüssigkeiten mit darin dispergierten Nanopartikeln. Zahlreiche Faktoren, darunter die Brownsche Bewegung, die Kettenbildung von Nanopartikeln, die Kristallisation an der Fest-Flüssigkeits-Grenzfläche und die Reibung zwischen Flüssigkeit und Partikeln, beeinflussen die Wirkung von Nanoflüssigkeiten. Der Begriff „Nanofluid“, der besagt, dass die Wärmeübertragungsrate durch die Erhöhung des thermischen Potenzials herkömmlicher Flüssigkeiten erheblich gesteigert werden kann, wurde erstmals von Choi7 geprägt. Alsulami et al.8 verwendeten das Buongiorno-Modell, um die Biokonvektion im strahlenden Glauert-Wandstrahlfluss von Nanoflüssigkeit zu analysieren. Die Nanopartikel werden häufig in sechs verschiedene Typen unterteilt, darunter Kohlenstoffnanopartikel, Nanokomposite, Metalle, Sulfide, Metalloxide und Seltenerdmetalle9, während die Basisflüssigkeit typischerweise eine elektrisch leitfähige Flüssigkeit wie Öl, Wasser oder Ethylenglykol ist. Die festen Metalle haben im Vergleich zu Basisflüssigkeiten eine höhere Wärmeleitfähigkeit. Dadurch können die Wärmeleitfähigkeit und die Wärmeübertragungsleistung durch suspendierte Nanopartikel gesteigert werden. Hamid et al.10 analysierten numerisch den Fluss des Magnetkreuz-Nanofluids mit dem effektiven Prandtl-Zahlen-Ansatz in Gegenwart gyrotaktischer Mikroorganismen. Gowda et al.11 untersuchten die Dynamik der Grenzflächenschicht und des Nanopartikeldurchmessers bei nicht-Newtonschen (Jeffrey) Nanofluidströmungen. Die Studien12,13,14,15,16,17,18,19 untersuchen das Verhalten einiger Nanoflüssigkeiten, die aus verschiedenen Nanopartikeln bestehen. Die in Erdölölen am häufigsten vorkommende Art von Nanopartikeln ist Metalloxid. Etwa 26 % der in Schmierölen verwendeten Nanopartikel sind Metalloxide9. In der vorliegenden Arbeit wurde das Nanoschmiermittel ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ in Betracht gezogen, bei dem es sich um eine Mischung aus Metalloxid-Nanopartikeln ${\mathrm{ZnO}}$ im Basisschmiermittel $SAE50$ handelt Die Analyse. Die Notwendigkeit, vielfältige industrielle Anforderungen zu erfüllen, trieb die Entwicklung des Nanoschmierstoffs ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ voran, einer hochmodernen Lösung, die die Wärmeübertragungsraten erheblich steigert und sie zu einem unverzichtbaren Aktivposten für Branchen macht, die ihre Leistung optimieren möchten .

Das Phänomen der Wärmeübertragung ist in industriellen, natürlichen, geophysikalischen und biotechnologischen Systemen von wesentlicher Bedeutung. Wärmeübertragung ist ein Phänomen, das durch Temperaturänderungen zwischen Objekten oder zwischen verschiedenen Bereichen desselben Objekts hervorgerufen wird. Im technischen und biologischen Bereich findet dieses Phänomen zahlreiche Anwendungen wie Energieerzeugung, Trocknungstechnologie, katalytische Reaktoren, Kühlung von Atomreaktoren, Medikamente und Wärmeübertragung in Geweben usw. Kumar et al.20 führten eine Studie zur Untersuchung der konvektiven Wärmeübertragung durch KKL-Korrelation zur Simulation des Flusses von Nanoflüssigkeit über eine Spannfolie. Alsulami et al.21 untersuchten die Wärmeübertragungsrate in einem porösen Medium für ein nicht-Newtonsches Fluid bestehend aus $AA7075$- und $Ti6Al4V$-Nanopartikeln unter Verwendung lokaler thermischer Nichtgleichgewichtsbedingungen. Kumar et al.22 präsentierten eine vergleichende Wärmeübertragungsanalyse im magnetisierten Fluss eines ternären Hybrid-Nanofluids, das drei unterschiedlich geformte Nanopartikel enthielt. Um das Phänomen der Wärmeübertragung besser zu verstehen, schlug Fourier23 als Pionier einen Wärmeübertragungsmechanismus vor. Dieses Modell musste jedoch aufgrund verschiedener Nachteile von zahlreichen Forschern aktualisiert werden, beispielsweise weil es nicht in der Lage war, eine parabolische Energietransportgleichung für Temperaturfelder zu erstellen. Eines davon, das erfolgreich war, ist das Modell Cattaneo24, das über eine thermische Relaxationszeit zur Darstellung der thermischen Trägheit verfügt. Unter Berücksichtigung der Relaxationsperiode wird die hyperbolische Energiegleichung deutlich, die die Ausbreitung von Wärmewellen mit begrenzter Geschwindigkeit zur Wärmeübertragung ermöglicht. Später änderte Christov25 die Zeitableitung in eine Oldroyd-Ableitung. Das Cattaneo-Christov-Modell ist der Name, der ihm nach dieser Modifikation gegeben wurde. Diese aktualisierte Version wurde in zahlreichen aktuellen Untersuchungen angewendet26,27,28,29. Sarada et al.30 verwendeten ein Nicht-Fourier-Wärmeflussmodell, um die Auswirkung der exponentiellen Form der internen Wärmeerzeugung auf die Strömung des ternären Hybrid-Nanofluids zu diskutieren.

Die Fähigkeit eines Materials, Wärme zu leiten, wird als Wärmeleitfähigkeit bezeichnet. Dabei handelt es sich um eine Materialeigenschaft, die sich mit der Temperatur ändern soll. Die Wärmeleitfähigkeit in Flüssigkeiten beruht auf zwei unterschiedlichen Prozessen. Erstens steigt mit der Geschwindigkeit der Molekülkollisionen auch die Geschwindigkeit des Energieaustauschs, was dazu beiträgt, Wärme durch das Medium zu transportieren. Zweitens erhöht das Vorhandensein von Wärmeleitfähigkeit die zufällige Bewegung der Moleküle. Wenn die Menge der zufällig bewegten Moleküle zunimmt, nimmt die Wärmeenergie zu. Es liegt auf der Hand, dass bei der Isolierung schlecht leitfähige Materialien und bei Kühlkörpern Materialien mit höherer Wärmeleitfähigkeit verwendet werden. Zu den Anwendungen der Wärmeleitfähigkeit gehören Dampferzeuger, Elektrolyte, Erhitzen von Beton, Katalyse, Laminieren und Formblasen. Der Einfluss variabler Wärmeleitfähigkeit auf den Fluss von Nanoflüssigkeit über eine sich bewegende dünne Nadel wurde von Khan et al.31 untersucht. Der Williamson-Nanofluidfluss über eine sich ausdehnende Oberfläche mit variabler Wärmeleitfähigkeit wurde von Reddy et al.32 berücksichtigt. Variable Wärmeleitfähigkeit mit verschiedenen Geometrien wurde kürzlich von bestimmten Forschern untersucht33,34,35,36.

Der Strömungswiderstand einer Flüssigkeit wird als Viskosität bezeichnet. Der Einsatz von Viskosität ist für viele technologische und industrielle Praktiken von entscheidender Bedeutung. Der Flüssigkeitsfluss in schweren Extrusionsprozessen, thermisch dynamische Systeme und das Transportphänomen ändern sich, wenn die Wärmeleitfähigkeit und Viskosität des Materials aufgrund verschiedener Substanzen variieren. Typischerweise führen Schwankungen der Temperatur, des Drucks und der Schergeschwindigkeit zu Veränderungen der Flüssigkeitsviskosität. Am Beispiel von bestrahltem Material beschrieben Aldabesh et al.37 die variable Natur der Viskosität. Die variable Viskosität wurde von Olabode et al.38 verwendet, um die wesentlichen Elemente des Wärmetransports im porösen Raum zu beschreiben. Der Einfluss von Wärmestrahlung und temperaturabhängiger Viskosität auf den Schlickerfluss über einem Überführungsblech wurde von Iqbal et al.39 untersucht.

In der oben genannten Literatur wurden die meisten Studien zur Wärme- und Stoffübertragungsbewertung von Nanoflüssigkeiten im Hinblick auf das Cattaneo-Christov-Wärme- und Massenflussmodell unter verschiedenen Aspekten unter Verwendung von Wasser oder anderen Basisflüssigkeiten durchgeführt. In der Literatur gibt es nur begrenzte Studien, die Schmieröle anstelle von Wasser und anderen Basisflüssigkeiten berücksichtigten. Die vorliegende Studie untersucht hauptsächlich den Fluss von chemisch reaktivem magnetisiertem ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$-Nanoschmierstoff über die Riga-Platte in Darcy-Forchheimer-Medien mit viskoser Dissipation, Wärmesenke/-quelle, Wärmestrahlung und Cattaneo-Christove-Wärme und -Masse Flussmodell. Es wird angenommen, dass die Rolle von Viskosität, Wärmeleitfähigkeit und Lösungsdiffusivität variabel ist, um die Untersuchung einfacher zu gestalten. Nach unserem besten Wissen ist diese Untersuchung (einschließlich dieser Aspekte) eine neue Entdeckung mit zahlreichen Anwendungen in der Mechanik und füllt die Lücke, die in der vorherrschenden Literatur nicht zufriedenstellend behandelt wird, indem sie die folgenden Schlüsselfragen beantwortet:

Welche Auswirkungen haben der magnetische Parameter und die modifizierte Hartmann-Zahl auf die Geschwindigkeit des Nanoschmierstoffs ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$?

Wie wird die Geschwindigkeit des Nanoschmierstoffs ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ im Darcy-Forchheimer-Medium beeinflusst?

Welchen Einfluss hat der variable Viskositätsparameter auf die Bewegung des Nanoschmierstoffs ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$?

Wie verändern die Wärmestrahlungs- und Wärmequelle-Senke-Parameter die Temperatur des Nanoschmierstoffs ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$?

Wie werden die Wärme- und Stoffübertragungsphänomene bei variablen Wärmeleitfähigkeits- und variablen Diffusivitätsparametern beeinflusst?

Welchen Einfluss haben die Lösungs- und thermischen Relaxationsparameter auf Temperatur und Konzentration des Nanoschmierstoffs?

Wie wirkt sich die verstärkende Reihenfolge der chemischen Reaktion auf das Konzentrationsprofil aus?

Welche Auswirkung hat der Parameter Feststoffvolumenanteil auf die Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsprofile?

In diesem Abschnitt geht es lediglich um die Beweise für die Formulierung von Gleichungen unter bestimmten Annahmen. Hier haben wir einen stetigen, laminaren und inkompressiblen Fluss von ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$-Nanoschmierstoff über eine Riga-Platte betrachtet, wie in Abb. 1 dargestellt. Die Riga-Platte soll unter elektromagnetischer Kraft ${F }_{m}=\left({F}_{m},\mathrm{0,0},\right)$, $\left({F}_{m}=\frac{\pi { j}_{0}{M}_{0}}{\delta {\rho }_{nf}}\mathit{exp}\left(-\frac{\pi }{a}y\right)\right ).$ Die aufeinanderfolgenden Anordnungen von Permanentelektroden und Magneten, die auf einer glatten Oberfläche angeordnet sind, bilden eine Riga-Platte. Es wird angenommen, dass sich die Riga-Platte mit gleichmäßiger Geschwindigkeit ${U}_{w}=cx$ in der $x-$-Richtung bewegt und die $y-$-Achse vertikal zur Bewegung des Nanoschmiermittels verläuft . An der Riga-Plattenoberfläche (bei $y=0$) werden Konzentration und Temperatur als ${C}_{w}$ und ${T}_{w}$ eingestellt und davon entfernt Oberfläche (als $y\to \infty$) werden sie dargestellt als ${C}_{\infty }$ und ${T}_{\infty }\left({T}_{\infty }<{ T}_{w}\right)$.

Physikalisches Modell der Strömung.

Die Analyse erfolgt unter folgenden Annahmen:

Betrachtet wird der Fluss des Nanoschmierstoffs $({\mathrm{ZnO}-SAE50})$.

Darcy Forchheimer-Medium wird berücksichtigt.

Es wird ein Magnetfeld der Stärke ${B}_{0}$ verwendet.

Es wird angenommen, dass die Rolle von Viskosität, Wärmeleitfähigkeit und Lösungsdiffusivität variabel ist.

Die Auswirkungen nichtlinearer Wärmestrahlung werden diskutiert.

Es wird eine einheitliche Wärmesenke/-quelle angewendet.

Die viskose Dissipation wird in die Modellierung einbezogen.

Es wird das Cattaneo-Christov-Modell angewendet.

Newtonsche Heizbedingung wird implementiert.

Die Stoffübertragungsrate wird durch die Anwendung einer chemischen Reaktion höherer Ordnung weiter untersucht.

Die Gleichungen, die den Fluss des Nanoschmiermittels ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ unter den oben genannten Annahmen regeln, sind als 40,41 angegeben

wobei ${T}_{H}$ und ${C}_{M}$ gegeben sind als

Gleichung (1) stellt die Kontinuitätsgleichung dar, während Gl. (2, 3, 4) stellen Gleichungen für Impuls, Energie bzw. Konzentration dar. Gl. (5) und (6) stellen Wärme- und Massenströme entsprechend dar. Die BCs sind auf 42,43 eingestellt.

Die Konzentration und thermische Diffusion werden durch das Cattaneo-Christov-Diffusionsmodell charakterisiert, das mit der Relaxation des Massen- und Wärmeflusses eingeführt wird. Die als Cattaneo-Christov-Doppeldiffusionsmodell bekannte Verallgemeinerung des Fick- und Fourier-Gesetzes wird dann wie folgt abgeleitet:

wobei $J-$ normaler Massenfluss, ${k}_{f}-$ Wärmeleitfähigkeit,${D}_{B}-$ Brownscher Diffusionskoeffizient,${\lambda }_ {E}-$ Relaxationszeit des Wärmeflusses, $q-$ normaler Wärmefluss und ${\lambda }_{C}-$ Relaxationszeit des Massenflusses. Gl. (9) und (10) werden auf das klassische Ficksche Gesetz und das Fouriersche Gesetz reduziert, wenn ${\lambda }_{C}=0$ und ${\lambda }_{E}=0$. Gl. (9) und (10) können wie folgt geschrieben werden, wenn die Kontinuitätsgleichung $\nabla \cdot V=0$ und die konstante laminare Strömung $\partial q/\partial t=0$ und $\partial J/\partial t=0$ berücksichtigt.

Die Beziehung für variable Viskosität (temperaturabhängig) wird als 44 dargestellt.

Im Allgemeinen gilt ${\epsilon }_{1}>0$ für Flüssigkeiten und ${\epsilon }_{1}>0$ für Gase.

Die temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit kann mit 45 definiert werden

Die variable Diffusionsfähigkeit kann als46 definiert werden

Der Begriff des Strahlungswärmeflusses kann durch Verwendung der Rosseland-Näherung vereinfacht werden und ist definiert als47.

wobei ${\sigma }^{*}-$ Stefan-Boltzman-Konstante und ${k}^{*}-$ Absorptionskoeffizient. Wir können den Term ${T}^{4}$ als lineare Funktion der Temperatur ausdrücken, wenn die Temperaturschwankungen innerhalb der Flüssigkeit in der Grenzschicht ausreichend klein sind. Indem wir also Terme höherer Ordnung vernachlässigen und ${T}^{4}$ in einer Taylor-Reihe um ${T}_{\infty }$ entwickeln, können wir ${T}^{4} erhalten }\ approx 4T{T}_{\infty }^{3}-3{T}_{\infty }^{4}$. Nun, Gl. (16) kann dargestellt werden als

Die Wärmekapazität, die effektive Dichte und die Viskosität des Nanoschmiermittels $\mathrm{ZnO}-SAE50$ betragen 48,49

Dabei symbolisieren $\phi$ und $T$ den Volumenanteil $(\%)$ und die Temperatur (Grad Celsius).

Patel et al.50 schlugen die folgende Beziehung vor, um die effektive Wärmeleitfähigkeit von Nanoschmiermitteln vorherzusagen

Die übernommenen Ähnlichkeitstransformationen werden als angegeben

Durch die Verwendung der in Gl. definierten Ähnlichkeitsvariablen. (23) und mit Hilfe von Gl. (5, 6) und (9–22), Gl. (1) erfüllt identisch und Gl. (2) – (4) werden auf folgende Weise auf nichtlineare ODEs reduziert. '

Die umgewandelten Randbedingungen sind gegeben durch:

Hier,

und ${\Omega }_{5}={\left(1-\phi \right)}^{2,5}$.

Die in unserer Studie verwendeten dimensionslosen Größen sind:

Die wesentlichen technischen Koeffizienten sind wie folgt definiert:

Die Terme ${\tau }_{w}$, ${q}_{w},$ und ${q}_{m}$ sind wie folgt gegeben:

Die nichtdimensionalen Formen der oben genannten technischen Koeffizienten sind

Dabei ist $Re=\frac{a{x}^{2}}{{v}_{SAE50}}$ die lokale Reynolds-Zahl.

Das maßgebliche System der PDEs wurde durch die Einführung entsprechender Ähnlichkeitsvariablen in das System der gekoppelten ODEs geändert. Das resultierende System gekoppelter ODEs, wie in den Gleichungen angegeben. (24, 25, 26) zusammen mit den am besten geeigneten BCs, die in Gl. (27) wurde numerisch mit dem MATLAB bvp-4c-Löser behandelt.

Um das BVP der Form $\eta^{\prime} = f\left( {\xi ,\eta ,c} \right)\ mit zwei Punkten BC \(\psi \left( {\eta \left( a \right),\eta \left( b \right),c} \right) = 0$ wobei $a\le \xi \le b$, bvp-4c wendet eine Sammlungsmethode an. Die Methodik umfasst die folgenden zwei Schlüsselschritte51.

Mit den BCs $\psi \left(g\left(a\right),g\left(b\right)\right)=0,$ ist ein Polynom $g(x)$ wohldefiniert über jedes Intervall $\left[{\xi }_{n},{ \xi }_{n+1}\right]$ jeder Masche $a={\xi }_{0}<{\xi }_{1}<\dots <{\xi }_{n}=b$. Darüber hinaus erfüllt $g(\xi )$ an beiden Enden und Mittelpunkten jedes Teilintervalls die Kollokationen, d. h.

Und

Nach der Simpson-Methode werden diese iterativ erarbeitet. Für eine isolierte Lösung $\eta (\xi )$ kann $g(\xi )$ eine Schätzung $4.$ Ordnung mit einer kleinen Prämisse sein.

wobei $C$ und $h$ die Konstante darstellen und die Schrittgröße ${h}_{n}={\xi }_{n+1}-{\xi }_{n}\ ), jeweils. Zu jedem \(\xi$ in $[a,b]$ kann $g(\xi )$ kostengünstig mit der Funktion ''bvpval'' gefunden werden, da sie auf einem Netz mit bvp- ausgeführt wird. 4c.

Definieren Sie das Residuum in ODEs als $R\left( \xi \right) = g^{\prime}\left( \xi \right) - f\left[ {\xi ,g\left( \xi \right)} \right]$ in Übereinstimmung mit dem BC $\psi \left(g\left(a\right),g\left(b\right)\right)=0$, um den Fehler zu minimieren. $g(\xi )$ ist eine ausgezeichnete Lösung, wenn die Residuen gleichmäßig klein sind.

Im System der Gleichungen. (24) − (27) führen wir die folgenden Substitutionen ein:

Das Gleichungssystem höherer Ordnung wurde zusammen mit den folgenden Randbedingungen auf die erste Ordnung reduziert:

Für die Residuen wurden die absoluten und relativen Toleranzfehler festgelegt

Die resultierenden IVPs wurden durch $^{\prime\prime}bvpinit^{\prime\prime}$ gelöst.

Und

Das BVP wurde zusammen mit den BCs durch folgenden Code ausgeführt:

Zur Berechnung des Residuums wurde die folgende Syntax verwendet:

Das Motiv dieses Abschnitts besteht darin, die grafischen und numerischen Ergebnisse verschiedener wichtiger Parameter zu erläutern, die für betroffene Profile des Nanoschmierstoffs ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ von Interesse sind. Das maßgebliche System der PDEs zusammen mit den B.Cs wird durch Anwendung geeigneter Ähnlichkeitstransformationen auf ODEs reduziert. Das geänderte System von ODEs und B.Cs wird mithilfe des in MATLAB integrierten bvp4c-Pakets numerisch behandelt. Die Ergebnisse wurden grafisch dargestellt, um das Verhalten der betroffenen Profile entsprechend der Variation zahlreicher interessierender Parameter zu bewerten. Die Werte der Parameter wurden wie folgt angenommen: \le 0.0025, 0.1\le Fr\le 1.3, 0.1\le {\in }_{1}\le 2, 0.1\le Rd\le 4, 0.1\le Ec\le 1.5, -0.3\le S\le 1, -0,7\le {\in }_{2}\le -0,1, 0,1\le {\lambda }_{h}2,0, 0,1\le {\in }_{3}\le 0,8, 0,1\le Rc\le 1,5, 1\le m\le 3, 0,5\le Sc\le 2,0, 0,1\le {\lambda }_{m}1,0.\) Die thermophysikalischen physikalischen Eigenschaften von $SAE50$ und \ ({\mathrm{ZnO}}\) sind in Tabelle 1 dargestellt.

Zur Beschreibung der Auswirkungen des magnetischen Parameters $M$, des Trägheitskoeffizienten $Fr$, des Viskositätsparameters ${\epsilon }_{1}$, des Porositätsparameters $\lambda$, der modifizierten Hartmann-Zahl $ Q$, Breitenparameter $\beta$ und Feststoffvolumenanteilparameter $\phi$ auf Geschwindigkeit $f^{\prime}\left( \eta \right)$ des Nanoschmiermittels unter Beibehaltung anderer Parameter behoben, Abb. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 werden skizziert und ihre vorläufigen Leistungen bewertet. Der Einfluss des magnetischen Parameters $M$ auf die Geschwindigkeit $f^{\prime}\left( \eta \right)$ des Nanoschmiermittels ist in Abb. 2 dargestellt. Die Verzögerung der Geschwindigkeit des Nanoschmiermittels wird verursacht aufgrund der zunehmenden Stärke des Magnetfelds. Diese Verzögerung tritt allein aufgrund der Lorentzkraft auf, die bei der Verstärkung des Magnetfelds entsteht. Abbildung 3 erläutert das Verhalten des Geschwindigkeitsprofils $f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber verschiedenen Werten von $\beta$. Das Geschwindigkeitsprofil nimmt durch Vergrößerung von $\beta$ ab. Der Einfluss des Trägheitsparameters $Fr$ auf das Geschwindigkeitsprofil $f^{\prime}\left( \eta \right)$ ist in Abb. 4 dargestellt. Der Anstieg von $Fr$ verringert die Geschwindigkeit $f^{\prime}\left( \eta \right)$ des Nanoschmierstoffs. Ein Abfall des Geschwindigkeitsprofils tritt auf, weil mit zunehmendem $Fr$ die Dicke der Grenze zunimmt. Abbildung 5 zeigt den Einfluss von $\in_{1}$ auf das Geschwindigkeitsprofil $f^{\prime}\left( \eta \right)$. Die Geschwindigkeit des Nanoschmiermittels nimmt ab, wenn der Viskositätsparameter $\in_{1}$ ansteigt. Dies wird hauptsächlich dadurch erklärt, dass eine zunehmende Viskosität die Grenzschicht verbreitert, was die Geschwindigkeit des Nanoschmierstoffs verringert. Das Ergebnis des Geschwindigkeitsprofils $f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber steigenden Werten des Porositätsparameters $\lambda$ ist in Abb. 6 dargestellt. Ein Anstieg der Werte von $ \lambda$ führt zu einem Rückgang der Geschwindigkeitsverteilung des Nanoschmierstoffflusses. Die durch den Widerstand im porösen Raum erzeugte Reibungswiderstandskraft wirkt der Geschwindigkeit des Flüssigkeitsstroms entgegen und führt dazu, dass die Geschwindigkeit des Nanoschmiermittels abnimmt. Die Auswirkung von $Q$ auf das Geschwindigkeitsprofil $f^{\prime}\left( \eta \right)$ ist in Abb. 7 dargestellt. Die Geschwindigkeit des Nanoschmierstoffs wird durch Erhöhen der Werte von \ beschleunigt. (Q\). Diese verstärkte Reaktion entsteht, weil die Strömung entlang der Platte durch die Lorentzkraft parallel zur Oberfläche der Riga-Platte verstärkt wird. Abbildung 8 erläutert die Reaktion des Geschwindigkeitsprofils $f^{\prime}\left( \eta \right)$ des Nanoschmierstoffs auf verschiedene Werte von $\phi$. Die erhöhenden Werte von $\phi$ minimieren die Geschwindigkeit des Nanoschmiermittels. Physikalisch gesehen wird die Grenzschichtdicke durch die Zugabe von mehr Nanopartikeln verbessert, was zu einer Verringerung der Geschwindigkeit des Nanoschmierstoffs führt.

$f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $M$.

$f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $\beta$.

$f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $Fr$.

$f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $\in_{1}$.

$f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $\lambda$.

$f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $Q$.

$f^{\prime}\left( \eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $\phi$.

Die Abbildungen 9, 10, 11, 12, 13, 14 und 15 wurden grafisch dargestellt, um die Ergebnisse des Temperaturprofils $\theta (\eta )$ gegenüber unterschiedlichen Werten des Feststoffvolumenanteils $\phi$ und des Strahlungsparameters zu bewerten $Rd$, Eckert-Zahl $Ec$, Wärmequellen-/Senkenparameter $S$, Prandtl-Zahl $Pr$, Wärmeleitfähigkeitsparameter ${\epsilon }_{2}$ und thermisch Relaxationsparameter ${\lambda }_{h}$. Der Einfluss von $\phi$ auf die Temperatur des Nanoschmierstoffs für Situationen mit konstanter Wandtemperatur (CWT) und Newtonscher Erwärmung (NH) ist in Abb. 9 dargestellt. Die Temperatur des Nanoschmierstoffs steigt in beiden Situationen deutlich an (Newtonsche Erwärmung). und konstante Wandtemperatur) mit einer Zunahme des Feststoffvolumenanteils $\phi$. Das Wärmeabsorptionsvermögen und die Viskosität des Nanoschmiermittels werden durch die Zugabe weiterer Nanopartikel verbessert und die Wärme wird schnell zwischen den Partikeln transportiert, wodurch die Temperatur des Nanoschmiermittels steigt. Abbildung 10 erläutert den Einfluss des Strahlungsparameters $Rd$ auf das Temperaturprofil $\theta (\eta )$ für NH- und CWT-Bedingungen. Es wurde festgestellt, dass die Temperatur des Nanoschmiermittels in beiden Fällen (NH und CWT) bei höheren Werten von $Rd$ ansteigt. Physikalisch gesehen absorbiert das Nanoschmiermittel Strahlung, wenn das Strahlungsphänomen eingesetzt wird, und erhöht somit die Wärmeenergie des Nanoschmiermittels. Daher erfährt das Temperaturprofil $\theta \left(\eta \right)$ einen enormen Anstieg für höhere Werte von $Rd$. Die Auswirkung der Eckert-Zahl $Ec$ auf das Temperaturprofil $\theta (\eta )$ für NH- und CWT-Zustände ist in Abb. 11 dargestellt. Der Temperaturanstieg des Nanoschmierstoffs macht sich durch steigende Werte von bemerkbar $Ec$. Die kinetische Energie des Nanoschmiermittels übertrifft die erzeugte Enthalpiemenge, wenn wir $Ec$ vergrößern. Dadurch steigt die Temperatur des Nanoschmiermittels in beiden Fällen (NH und CWT) im gesamten Strömungsbereich deutlich an. Abbildung 12 stellt die Art des Temperaturprofils $\theta (\eta )$ für NH- und CWT-Fälle durch Variation des Wärmesenken-/Quellenparameters $S$ dar. Hier demonstrieren $S=0$, $S<0$ und $S>0$ das Fehlen einer Wärmequelle/-senke bzw. das Vorhandensein einer Wärmesenke bzw. -quelle. Durch die Entstehung der Werte von $S$ steigt die Temperatur des Nanoschmierstoffs. Durch den Wärmetauscher, der als Wärmesenke dient, wird die von der Oberfläche erzeugte Wärme in das Nanoschmiermittel transportiert. Infolgedessen ist die Wärmeverteilung im Fall eines Kühlkörpers gering und im Fall einer Wärmequelle erzeugt die Oberfläche die Temperatur. Das Vorhandensein einer Wärmequelle bedeutet in beiden Fällen (Newtonsche Erwärmung und konstante Wandtemperatur) eine bessere Wärmeleistung als ein Kühlkörper. Die Änderung des Temperaturprofils $\theta (\eta )$ mit zunehmendem $Pr$ für NH- und CWT-Bedingungen ist in Abb. 13 skizziert. Die Temperatur des Nanoschmierstoffs sinkt bei größerem $Pr$. Dies geschieht, weil bei höheren Werten von $Pr$ die thermische Diffusionsfähigkeit des Nanoschmiermittels abnimmt, was dazu führt, dass das Temperaturprofil $\theta \left(\eta \right)$ abfällt. Abbildung 14 veranschaulicht den Einfluss von ${\epsilon }_{2}$ auf das Temperaturprofil $\theta (\eta )$ für beide Fälle (NH und CWT). Durch die Erhöhung der Werte des Wärmeleitfähigkeitsparameters wird das Erwärmungsphänomen wirksam unterstützt. Die Verwendung von Materialien mit variablen thermischen Eigenschaften erweist sich als hilfreich bei der Beschleunigung der Wärmeübertragung. Die Reaktion des Temperaturprofils $\theta (\eta )$ entsprechend dem thermischen Relaxationsparameter ${\lambda }_{h}$ für NH- und CWT-Situationen ist in Abb. 15 dargestellt. Die Skizze zeigt dies Die Temperatur des Nanoschmierstoffs sinkt folglich in beiden Fällen (NH und CWT) mit zunehmenden Werten des thermischen Relaxationsparameters ${\lambda }_{h}$. Physikalisch zeigt sich ein Abfall der zugehörigen Grenzschichtdicke durch das Anwachsen von ${\lambda }_{h}$, wodurch die Temperatur des Nanoschmierstoffes sinkt.

$\theta (\eta )$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $\phi$.

$\theta \left(\eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $Rd$.

$\theta (\eta )$ hängt von unterschiedlichen Werten von $Ec$ ab.

$\theta (\eta )$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $S$.

$\theta (\eta )$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $Pr$.

$\theta(\eta)$ Verse unterschiedliche Werte von ${\epsilon}_{2}$.

$\theta (\eta )$ gegenüber unterschiedlichen Werten von ${\lambda }_{h}$.

Die Art des Konzentrationsprofils $\Phi (\eta )$, das verschiedenen Werten des Massendiffusivitätsparameters ${\epsilon }_{3}$, des chemischen Reaktionsparameters $Rc$ und des Feststoffvolumenanteils $ \phi$, die Reihenfolge der chemischen Reaktion $m$, die Schamidt-Zahl $Sc$ und der Lösungsrelaxationsparameter ${\lambda }_{m}$ wurden in den Abbildungen dargestellt. 16, 17, 18, 19, 20 und 21. Abbildung 16 zeigt das Merkmal des Massendiffusivitätsparameters ${\epsilon }_{3}$ auf die Konzentrationsverteilung. Das Wachstum im Konzentrationsfeld wird für eine höhere Variation des Massendiffusivitätsparameters ${\epsilon }_{3}$ berichtet. Physikalisch gesehen vergrößert sich die Massendiffusionsfähigkeit entsprechend einem höheren Massendiffusionsfähigkeitsparameter, was zu einem stärkeren Massentransfer von der Riga-Oberfläche zum Nanoschmierstoff führt. Daher ist es offensichtlich, dass die Verbesserung des gelösten Transports auftritt. Die Viskosität des Nanoschmierstoffs wird durch eine Erhöhung des chemischen Reaktionsparameters $Rc$ verringert. Dieses Phänomen tritt aufgrund der zufälligen Entropieproduktion im Nanoschmierstoff auf. Daher nimmt das Konzentrationsprofil $\Phi \left(\eta \right)$ mit steigendem $Rc$ ab, wie in Abb. 17 gezeigt wurde. In Abb. 18 ist das Verhalten des Konzentrationsprofils $\Phi \left(\eta \right)$ für steigenden Feststoffvolumenanteil $\phi$ wird ausgeführt. Die Konzentrationsverteilung erhöht sich durch die Zugabe weiterer Nanopartikel zum Grundschmierstoff. Physikalisch führt eine Verbesserung der Grenzschicht zu einer Vergrößerung der Konzentrationsverteilung durch die Anreicherung weiterer Nanopartikel im Grundschmierstoff. Somit erfolgt die deutliche Verbesserung des Stoffübergangs durch die Erhöhung des Feststoffvolumenanteils. Das veränderte Profil der Konzentrationsverteilung entsprechend der Entwicklung von $m$ ist in Abb. 19 dargestellt. Es ist offensichtlich, dass das Konzentrationsprofil $\Phi \left(\eta \right)$ mit zunehmender Reihenfolge stärker wird Die chemische Reaktion nimmt zu. Der Einfluss von $Sc$ auf das Konzentrationsprofil $\Phi \left(\eta \right)$ ist in Abb. 20 hervorgehoben. Es zeigt sich, dass eine Eskalation von $Sc$ die Konzentrationsverteilung verringert. Diese Verringerung der Konzentrationsverteilung ist darauf zurückzuführen, dass durch die Eskalation von $Sc$ die Impulsdiffusionsfähigkeit der Massendiffusionsfähigkeit vorauseilt. Abbildung 21 zeigt die Variation des Konzentrationsprofils $\Phi \left(\eta \right)$ mit den wachsenden Werten des Lösungsrelaxationsparameters ${\lambda }_{m}$. Das Diagramm zeigt, dass steigende Werte des Lösungsrelaxationsparameters ${\lambda }_{m}$ die Konzentrationsverteilung des Nanoschmiermittels schwächen. Physikalisch gesehen wird ein Abfall der zugehörigen Konzentrationsgrenzschicht entsprechend dem akkumulativen Lösungsrelaxationsparameter ${\lambda }_{m}$ entdeckt, wodurch die Konzentrationsverteilung geschwächt wird.

$\Phi (\eta )$ gegenüber unterschiedlichen Werten von ${\epsilon }_{3}$.

$\Phi (\eta )$ hängt von unterschiedlichen Werten von $Rc$ ab.

$\Phi \left(\eta \right)$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $\phi$.

$\Phi (\eta )$ gegenüber unterschiedlichen Werten von $m$.

$\Phi (\eta )$ hängt von unterschiedlichen Werten von $Sc$ ab.

$\Phi (\eta )$ gegenüber unterschiedlichen Werten von ${\lambda }_{m}$.

Der Vergleich des vorliegenden Modells mit den früher veröffentlichten Arbeiten ist in Tabelle $1$ angegeben. Es ist wichtig anzumerken, dass das vorliegende Modell eine hervorragende Übereinstimmung mit der Literatur findet. Tabelle 2 stellt den Vergleich der Berechnungswerte von f"(0) für einen begrenzten Fall mit der Literatur dar. Tabelle 3 stellt die Auswirkungen verschiedener Parameter auf die Hautreibung dar. Es ist zu beobachten, dass der Wert der Hautreibung im Fall von Nanoschmiermitteln geringer ist. ({\mathrm{ZnO}-SAE50}\) im Vergleich zu $SAE50$-Öl. Die Auswirkungen verschiedener Parameter auf die Nusselt-Zahl sind in Tabelle 4 aufgeführt. Es wurde festgestellt, dass sie bei Bedingungen mit gemeinsamer Wandtemperatur (CWT) größer sind Im Vergleich zum Fall der Newtonschen Erwärmung (NH) wird eine thermische Verbesserung erreicht. Tabelle 5 zeigt die Auswirkungen einiger Parameter auf die Sherwood-Zahl. Es wird darauf hingewiesen, dass das Nanoschmiermittel ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ eine bessere Stoffübertragungsrate bietet Vergleich zu $SAE50$-Öl.

In der vorliegenden Studie wurde versucht, die Wärme- und Stoffübertragungseigenschaften des Darcy-Forchheimer-Flusses des magnetisierten Nanoschmiermittels ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ über der Riga-Platte unter Newtonschen Heizbedingungen zu analysieren. Das Cattaneo-Christov-Modell wird zur Bewertung der Wärme- und Massenübertragungsraten verwendet. Die Bewertung des Wärme- und Stofftransports wird zusätzlich durch Wärmestrahlung, gleichmäßige Wärmequelle/-senke, viskose Dissipation und chemische Reaktionen höherer Ordnung unterstützt. Darüber hinaus beschreiben die Einflüsse variabler Wärmeleitfähigkeit, variabler Viskosität, variabler Diffusionsfähigkeit und der Verwendung des Patel-Modells die Neuheit unserer Studie. Durch die Einführung von Ähnlichkeitsgrößen wird das maßgebliche PDE-System in ODEs umgewandelt. Die Lösung des resultierenden Systems wird dann numerisch mit dem MATLAB bvp-4c-Löser ausgeführt. Die Ergebnisse für verschiedene neu auftretende Parameter von Interesse werden anhand von Tabellen und Grafiken erläutert. Im Folgenden sind die wichtigsten Ergebnisse dieser Studie aufgeführt:

Die wachsenden Werte des Porositätsparameters, des magnetischen Parameters, des Trägheitsparameters und des variablen Viskositätsparameters verringern die Bewegung des Nanoschmiermittels.

Die Bewegung des Nanoschmiermittels wird durch die Erhöhung der Werte der modifizierten Hartmann-Zahl beschleunigt.

Die Temperatur des Nanoschmiermittels steigt mit der Zugabe einer größeren Menge an Nanopartikeln. Eine Erhöhung des Feststoffvolumenanteils führt hingegen zu einer Verschlechterung des Geschwindigkeitsprofils.

Der Wärmeabsorptionsparameter und die Prandtl-Zahl verringern die Temperatur des Nanoschmierstoffs.

Die Erhöhung der Werte des Wärmestrahlungsparameters, der Eckert-Zahl, des variablen Wärmeleitfähigkeitsparameters und des Wärmeerzeugungsparameters sind hilfreich, um die Temperatur des Nanoschmiermittels zu erhöhen.

Die Wärme- und Stoffübertragungsraten verlangsamen sich für die thermischen bzw. gelösten Zeitrelaxationsparameter.

Die Verschlechterung des Konzentrationsprofils wird durch steigende Werte der chemischen Reaktionsparameter und der Schmidt-Zahl verursacht.

Das Konzentrationsprofil wird durch die Vergrößerung der Reihenfolge der chemischen Reaktion und des variablen Massendiffusivitätsparameters angereichert.

Der Wert der Hautreibung ist bei Nanoschmierstoff ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ geringer als bei $SAE50$-Öl.

Im Fall der gemeinsamen Wandtemperatur (CWT) wird im Vergleich zum Fall der Newtonschen Erwärmung (NH) eine größere thermische Verbesserung erreicht.

Das Nanoschmiermittel $\mathrm{ZnO}-SAE50$ bietet im Vergleich zu $SAE50$-Öl bessere Wärme- und Stoffübertragungsraten.

Alle während dieser Studie generierten oder analysierten Daten sind in diesem Artikel enthalten.

Geschwindigkeitskomponenten

Grundflüssigkeit mit dynamischer Viskosität $(SAE50)$

Effektive dynamische Viskosität des Nanoschmierstoffs $({\mathrm{ZnO}-SAE50})$

Elektrische Leitfähigkeit von ${\mathrm{ZnO}}$ np

Elektrische Leitfähigkeit der Grundflüssigkeit $(SAE50)$

Elektrische Leitfähigkeit des Nanoschmierstoffs $(\mathrm{ZnO}-SAE50)$

Flüssigkeitstemperatur

Effektive Dichte des Nanoschmierstoffs $(\mathrm{ZnO}-SAE50)$

Wärmeleitfähigkeit der Grundflüssigkeit $(SAE50)$

Dichte der Grundflüssigkeit $(SAE50)$

Dichte von np ${\mathrm{ZnO}}$

Feststoffvolumenanteil

Externe freie Strömungsgeschwindigkeit

Brownsche Bewegungsgeschwindigkeit von ${\mathrm{ZnO}}$ nps

Konstante

Peclet-Nummer

Molekülgröße von $SAE50$

Durchmesser des ${\mathrm{ZnO}}$-Partikels

Wärmeleitfähigkeit von $SAE50$

Variabler Viskositätsparameter

Variabler Wärmeleitfähigkeitsparameter

Variabler Diffusivitätsparameter

Breitenparameter

Diffusivität des Nanoschmierstoffs $(\mathrm{ZnO}-SAE50)$

Reihenfolge der chemischen Reaktion

Chemische Reaktionsparameter

Modifizierte Hartman-Nummer

Porositätsparameter

Magnetischer Parameter

Trägheitsparameter

Wärmerelaxationsparameter

Massenrelaxationsparameter

Wärmequellenparameter

Durchlässigkeit des porösen Mediums

Ungleichmäßiger Trägheitskoeffizient

Luftwiderstandsbeiwert

Schmidt-Nummer

Strahlungsparameter

Prandtl-Nummer

Eckert-Nummer

Temperatur an der Oberfläche

Umgebungstemperatur

Flüssigkeitskonzentration

Konzentration an der Oberfläche

Umgebungskonzentration

Diffusivität von $SAE50$

Spezifischer HC der Grundflüssigkeit $(SAE50)$

Spezifischer HC von ${\mathrm{ZnO}}$ np

Spezifischer HC des Nanoschmiermittels $({\mathrm{ZnO}-SAE50})$

Prasannakumara, BC & Punith Gowda, RJ Wärme- und Stofftransferanalyse des Strahlungsflüssigkeitsflusses unter dem Einfluss eines gleichmäßigen horizontalen Magnetfelds und thermophoretischer Partikelablagerung. Wellen Random Complex Med. https://doi.org/10.1080/17455030.2022.2096943 (2022).

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MS Hashmi

Fakultät für Mathematik, Universität Aden, Postfach 6014, Aden, Jemen

Dschihad Younis

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MR und NK haben sich die vorgestellte Idee ausgedacht. MR und NK entwickelten die Theorie und führten die Berechnungen durch. MSH und JY überprüften die Methode und die Ergebnisse. NK und MSH überwachten die Ergebnisse dieser Arbeit. MSH und JY erläutern den Abschlussteil. Alle Autoren diskutierten die Ergebnisse und trugen zum endgültigen Manuskript bei.

Korrespondenz mit Jihad Younis.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Riaz, M., Khan, N., Hashmi, MS et al. Wärme- und Stoffübertragungsanalyse für den magnetisierten Fluss von ${\mathrm{ZnO}-SAE50}$ Nanoschmierstoff mit variablen Eigenschaften: eine Anwendung des Cattaneo-Christov-Modells. Sci Rep 13, 8717 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35988-7

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Eingegangen: 27. März 2023

Angenommen: 26. Mai 2023

Veröffentlicht: 30. Mai 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-35988-7

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